Интегрирование иррациональных дробей. Интегралы от иррациональных функций

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Замечание

Определение 2 можно записать следующим образом:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.

$\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $.

I

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:

При данной подстановке каждая дробная степень переменной $x$ выражается через целую степень переменной $t$. В результате чего подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.

Пример 1

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} .\]

Решение:

$k=4$ - общий знаменатель дробей $\frac{1}{2} ,\, \, \frac{3}{4} $.

\ \[\begin{array}{l} {\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} \cdot t^{3} dt =4\int \frac{t^{5} }{t^{3} +1} dt =4\int \left(t^{2} -\frac{t^{2} }{t^{3} +1} \right)dt =4\int t^{2} dt -4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} dt =\frac{4}{3} \cdot t^{3} -} \\ {-\frac{4}{3} \cdot \ln |t^{3} +1|+C} \end{array}\]

\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =\frac{4}{3} \cdot \left+C\]

II

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:

где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.

В результате данной подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.

Пример 2

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку:

\ \[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =\int \frac{t^{2} }{t^{2} -4} dt =2\int \left(1+\frac{4}{t^{2} -4} \right)dt =2\int dt +8\int \frac{dt}{t^{2} -4} =2t+2\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =2\sqrt{x+4} +2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} -2}{\sqrt{x+4} +2} \right|+C.\]

III

При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $ выполняется так называемая подстановка Эйлера (используется одна из трех возможных подстановок).

Первая подстановка Эйлера

Для случая $a>

Взяв перед $\sqrt{a} $ знак «+», получим

Пример 3

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку (случай $a=1>0$):

\[\sqrt{x^{2} +c} =-x+t,\, \, x=\frac{t^{2} -c}{2t} ,\, \, dx=\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt,\, \, \sqrt{x^{2} +c} =-\frac{t^{2} -c}{2t} +t=\frac{t^{2} +c}{2t} .\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\int \frac{\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt}{\frac{t^{2} +c}{2t} } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\ln |\sqrt{x^{2} +c} +x|+C.\]

Вторая подстановка Эйлера

Для случая $c>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:

Взяв перед $\sqrt{c} $ знак «+», получим

Пример 4

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx .\]

Решение:

Сделаем следующую подстановку:

\[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1.\]

\ \[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1=\frac{t^{2} -t+1}{1-t^{2} } \] \

$\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =\int \frac{(-2t^{2} +t)^{2} (1-t)^{2} (1-t^{2})(2t^{2} -2t+2)}{(1-t^{2})^{2} (2t-1)^{2} (t^{2} -t+1)(1-t^{2})^{2} } dt =\int \frac{t^{2} }{1-t^{2} } dt =-2t+\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C$Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\begin{array}{l} {\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +\ln \left|\frac{x+\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x-\sqrt{1+x+x^{2} } +1} \right|+C=-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +} \\ {+\ln \left|2x+2\sqrt{1+x+x^{2} } +1\right|+C} \end{array}\]

Третья подстановка Эйлера

Продолжаем рассматривать интегралы от дробей и корней. Не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

.

Замена тут простая:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.

(2) Выносим из-под корня.

(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем мы переставили слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.

(4) Полученный интеграл, как вы помните, решается методом выделения полного квадрата . Выделяем полный квадрат.

(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.

(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .

(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

.

Единственное, что нужно, - это дополнительно выразить «икс» из проводимой замены:

.

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , решение которого рассматривалось на уроке Интегралы от иррациональных функций .

Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваем, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:

Вернёмся к примеру со счастливым номером 13. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида

где (k ≥ 2) – натуральное число, выведена рекуррентная формула понижения степени:

; – это интеграл степенью ниже на 1.

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Иррациональная функция от переменной - это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Важное замечание. Корни многозначны!

При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где - некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t < 0 , |t| = - t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t < 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний - к случаю t < 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.

Дробно-линейная иррациональность

Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R - рациональная функция, - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа, α, β, γ, δ - действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s .

Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной (γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x (α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).

Вот примеры таких интегралов:
, .

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p - рациональные числа, a, b - действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p - целое. Подстановка x = t N , где N - общий знаменатель дробей m и n .
2) Если - целое. Подстановка a x n + b = t M , где M - знаменатель числа p .
3) Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M , где M - знаменатель числа p .

В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Такие интегралы имеют вид:
,
где R - рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.

Рассмотрим эти методы более подробно.

1) Преобразование подынтегральной функции

Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) - рациональные функции.

I тип

Интеграл вида:
,
где P n (x) - многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P m (x) - многочлен степени m .

Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A 1 t 2 + C 1 ,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Тригонометрические и гиперболические подстановки

Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;

Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;

И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;

3) Подстановки Эйлера

Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x 1 - корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Эллиптические интегралы

В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R - рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.

Пример

Вычислить интеграл:
.

Решение

Делаем подстановку .

.
Здесь при x > 0 (u > 0 ) берем верхний знак ′+ ′. При x < 0 (u < 0 ) - нижний ′- ′.

.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Рассмотрим интегралы с корнем от дробно-линейной функции:
(1) ,
где R - рациональная функция своих аргументов. То есть функция, составленная из входящих в нее аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения и деления (возведения в целочисленную степень).

Примеры рассматриваемых интегралов с дробно-линейной иррациональностью

Приведем примеры интегралов с корнями вида (1) .

Пример 1

Хотя здесь под знаком интеграла входят корни различных степеней, но подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:
;
;
.

Таким образом, подынтегральное выражение составлено из переменной интегрирования x и корня от линейной функции с помощью конечного числа операций вычитания, деления и умножения. Поэтому оно является рациональной функцией от x и и принадлежит рассматриваемому типу (1) со значениями постоянных n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Пример 2

Здесь мы выполняем преобразование:
.
Отсюда видно, что подынтегральное выражение является рациональной функцией от x и . Поэтому принадлежит рассматриваемому типу.

Общий пример дробно-линейной иррациональности

В более общем случае, в подынтегральное выражение может входить любое конечное число корней от одной и той же дробно-линейной функции:
(2) ,
где R - рациональная функция своих аргументов,
- рациональные числа,
m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа.
Действительно, пусть n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s . Тогда их можно представить в виде:
,
где k 1 , k 2 , ..., k s - целые числа. Тогда все входящие в (2) корни являются степенями от :
,
,
. . . . .
.

То есть все подынтегральное выражение (2) составлено из x и корня с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Поэтому оно является рациональной функцией от x и :
.

Метод интегрирования корней

Интеграл с дробно-линейной иррациональностью
(1)
сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
(3) .

Доказательство

Извлекаем корень степени n из обеих частей (3) :
.

Преобразуем (3) :
;
;
.

Находим производную:

;
;
.
Дифференциал:
.

Подставляем в (1) :
.

Отсюда видно, что подынтегральная функция составлена из постоянных и переменной интегрирования t с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения (возведения в целочисленную степень) и деления. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией от переменной интегрирования. Таким образом, вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции. Что и требовалось доказать.

Пример интегрирования линейной иррациональности

Найти интеграл:

Решение

Поскольку в интеграл входят корни от одной и той же (дробно) линейной функции x + 1 , и подынтегральное выражение образовано с помощью операций вычитания и деления, то данный интеграл принадлежит рассматриваемому типу.

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы в него входили корни одной степени:
;
;
.

Делаем подстановку
x + 1 = t 6 .
Берем дифференциал:
d(x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt .
Подставляем:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Выделяем целую часть дроби, замечая что
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) .
Тогда

.

Ответ

,
где .

Пример интегрирования дробно-линейной иррациональности

Найти интеграл

Решение

Выделим корень из дробно-линейной функции:
.
Тогда
.
Делаем подстановку
.
Берем дифференциал
.
Находим производную
.
Тогда
.
Далее замечаем, что
.
Подставляем в подынтегральное выражение


.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Класс иррациональных функцийочень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.

Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида, гдеp – рациональная дробь.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Не трудно заметить, что . Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных:

Ответ:

.

13. Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа где а, b, с, d - действительные числа,a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановкигде К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки следует, чтои

т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

Пример 33.4 . Найти интеграл

Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.

Поэтому полагаем х+2=t 6 , х=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Следовательно,

Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение: Для I 1 подстановка х=t 2 , для I 2 подстановка

14. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а sint для первого интеграла; х=а tgt для второго интеграла;для третьего интеграла.

Пример 33.6. Найти интеграл

Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типаЭти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

Пример 33.7. Найти интеграл

Решение: Так как х 2 +2х-4=(х+1) 2 -5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим

Замечание: Интеграл типа целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.

15. Определенный интеграл

Пусть функция задана на отрезкеи имеет на нем первообразную. Разностьназываютопределенным интегралом функции по отрезкуи обозначают. Итак,

Разность записывают в виде, тогда. Числаиназываютпределами интегрирования .

Например, одна из первообразных для функции. Поэтому

16 . Если с - постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на , то

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

▼Составим интегральную сумму для функции с ƒ(х). Имеем:

Тогда Отсюда вытекает, что функцияс ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲

2. Если функции ƒ 1 (х) и ƒ 2 (х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

▼
▲

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3.

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = х m , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

(использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F"(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F"(c) (b-а) = ƒ(с) (b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По «теореме о среднем» (свойство 5)

где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Поэтому ƒ(с) (b-а) ≥ 0, т. е.▲

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a

▼Так как ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Или, согласно свойству 2,

Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то

▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем

Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем

▲

Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрирует ся геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и М (см. рис. 171).

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем

Отсюда следует, что

▲

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

Вычисление площади фигуры является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.

В этой статье мы рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, причем подойдем к ней в геометрическом смысле. Это позволит нам выяснить прямую связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции.