Операции суперпозиции и замыкания. Полнота, базис системы функций. Смотреть что такое "Суперпозиция функций" в других словарях Что такое суперпозиция функций
В научной среде широко известна шутка на эту тему "нелинейность" сравнивается с "не-слоном" - все создания, кроме "слонов", являются "не-слонами". Сходство заключается в том, что большинство систем и явлений в окружающем нас мире нелинейны, за малым исключением. Вопреки этому, в школе нас учат "линейному" мышлению, что очень плохо, с точки зрения нашей готовности к восприятию всепроникающей нелинейности Вселенной, будь то ее физические, биологические, психологические или социальные аспекты. Нелинейность концентрирует в себе одну из основных сложностей познания окружающего мира поскольку следствия, в общей своей массе, не пропорциональны причинам, две причины, при взаимодействии, не аддитивны, то есть следствия являются более сложными, чем простая суперпозиция, функциями причин. То есть, результат, получающийся в результате присутствия и воздействия двух причин, действующих одновременно, не является суммой результатов, полученных в присутствии каждой из причин в отдельности, при отсутствии другой причины.
Определение 9. Ее in на некотором промежутке X определена функция г-ф(лг) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у =/(z), то функция у Лсложной функцией от х (или суперпозицией функции), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.
Контроллинг можно представить как суперпозицию трех классических управленческих функций - учета, контроля и анализа (ретроспективного) . Контроллинг как интегрированная функция управления делает возможным не только подготовку решения, но и обеспечение контроля его выполнения с помощью соответствующих управленческих инструментов.
Как известно /50/, любую временную функцию можно представить как суперпозицию (набор) простых гармоничных функций с разным периодом, амплитудой и фазой. В общем случае P(t) = f(t),
Переходная или импульсная характеристики определяются экспериментально. При их использовании по методу суперпозиции осуществляется сначала разложение выбранной модели входного воздействия на элементарные" функции времени, а затем суммирование откликов на них. Последнюю операцию называют иногда свертыванием, а интегралы в выражениях (24). . . (29) - интегралами свертки. Из них выбирается тот, у которого проще подынтегральная функция.
Эта теорема сводит задачу на условный экстремум к суперпозиции задач на безусловный экстремум. В самом деле, определим функцию R (g)
Суперпозиция ((>(f(x)), где у(у) - неубывающая выпуклая функция одного переменного, /(х) - выпуклая функция , является выпуклой функцией.
Пример 3.28. Вернемся к примеру 3.27. На рис. 3.24 показан в виде штрих-пунктирной кривой результат суперпозиции двух функций принадлежности , соответствующих тем квантификаторам, которые имеются в этом примере. С помощью уровня отсечки со значением 0,7 получены нечеткие интервалы на оси абсцисс. Теперь мы можем сказать, что диспетчер должен ожидать изменения плана
Другой способ определения функции F, отличный от способа суперпозиции, состоит в том, что при применении какого-либо квантификатора к другому квантификатору происходит некое монотонное преобразование исходной функции принадлежности , сводящееся к растяжению и сдвигу максимума функции в ту или другую сторону.
Пример 3.29. На рис. 3.25 показаны два результата, полученные с помощью суперпозиции и сдвига с растяжением, для случая, когда ХА и X соответствуют квантификатору часто. Разница состоит, по-видимому, в том, что суперпозиция вычленяет в функции принадлежности часто те значения, которые часто встречаются. В случае же сдвига и растяжения мы можем интерпретировать результат как появление нового квантификатора со значением часто-часто , который можно при желании аппроксимировать, например, значением очень часто.
Покажите, что суперпозиция строго возрастающей функции и функции полезности , представляющей некоторое отношение предпочтения >, также является функцией полезности , представляющей это отношение предпочтения. Какие из нижеприведенных функций могут выступать в качестве такого преобразования
Первое из соотношений (2) представляет собой не что иное, как запись правила, согласно которому каждой функции F(x), принадлежащей семейству монотонно неубывающих абсолютно непрерывных функций , ставится в соответствие одна и только одна непрерывная функция w(j). Это правило линейно , т.е. для него верен принцип суперпозиции
Доказательство. Если отображение F непрерывно, функция М0 непрерывна как суперпозиция непрерывных функций . Чтобы доказать вторую часть утверждения, рассмотрим функцию
Сложные е функции (суперпозиции)
Метод функциональных преобразований предполагает также использование эвристического подхода. Например, использование логарифмических преобразований в качестве операторов В и С приводит к информационным критериям построения идентифицируемых моделей и использованию мощного инструмента теории информации . Пусть оператор В представляет собой суперпозицию операторов умножения на функцию,(.) и сдвига на функцию К0(), оператор С - оператор
Здесь будут в общих чертах приведены результаты решения ряда вариационных задач (1)-(3). Они решались методом последовательной линеаризации (19-21) еще в 1962-1963 гг., когда технология метода только начинала складываться и проходила проверку. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых деталях. Прежде всего заметим, что функции С и С2 были заданы достаточно сложными выражениями, являющимися суперпозицией вспомогательных функций, в том числе и заданных таблично. Поэтому при решении сопряженной системы ф=-fxиспользованием функций, заданных таблично. Обычно подобные таблицы содержат небольшое число значений для набора узлов в области изменения независимого аргумента, а между ними функция интерполируется линейно, так как применение более точных методов интерполяции не оправдано ввиду неточности самих табличных значений (как правило, таблицами задаются функциональные зависимости экспериментального характера). Однако для наших целей нужны дифференцируемые функции / (х, и), поэтому следует предпочесть гладкие методы восполнения таблично заданной функции (например, с помощью сплайнов).
Пусть теперь (ДА и (д - произвольные функции, соответствующие каким-то значениям квантификаторов частоты. На рис. 3.23 показаны две одногорбые кривые, отвечающие этим функциям. Результат их суперпозиции - двугорбая кривая, показанная штриховой линией. Каков ее смысл Если, например, (ДА есть редко, а (д - часто,
Преимущество такого способа определения F состоит в том, что при монотонных преобразованиях вид функции принадлежности меняется не кардинально. Ее унимодальность или монотонность сохраняется, и переход от нового вида функции (2.16) имеют трапециевидную форму, то и линейная суперпозиция (2.15) является трапециевидным нечетким числом (что легко доказывается при использовании сегментного правила вычислений ). И можно свести операции с функциями принадлежности к операциям с их вершинами. Если обозначить трапециевидное число (2.16) как (аь а2, аз, а4), где а соответствуют абсциссам вершин трапеции, то выполняется
Функция f, получаемая из функций f 1 , f 2 ,…f n с помощью операций подстановки и переименования аргументов, называется суперпозицией функций.
Всякая формула, выражающая функцию f как суперпозицию других функций, задаёт способ её вычисления, т. е. формулу можно вычислить, если вычислены значения всех её подформул. Значение подформулы можно вычислить по известному набору значений двоичных переменных.
По каждой формуле можно восстановить таблицу логической функции, но не наоборот, т.к. каждой логической функции можно представить несколько формул в различных базисах
Формулы F i и F j представляющие одну и ту же логическую функцию f i, называются эквивалентными . Так, эквивалентными формулами являются:
1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);
2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 «x 2)=(x 1 Åx 2);
3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);
4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;
5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 «x 2) ;
6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Úx 2)=(x 1 ®x 2).
Если какая-либо формула F содержит подформулу F i , то замена F i на эквивалентную F j не изменяет значения формулы F при любом наборе булевого вектора, но изменяет форму её описания. Вновь полученная формула F` эквивалентна формуле F.
Для упрощения сложных алгебраических выражений булевой функции выполняют эквивалентные преобразования , используя законы булевой алгебры и правила подстановки и замещения ,
При написании формул булевой алгебры следует помнить:
· число левых скобок равно числу правых скобок,
· нет двух рядом стоящих логических связок, т. е. между ними должна быть формула,
· нет двух рядом стоящих формул, т. е. между ними должна быть логическая связка,
· логическая связка “×” сильнее логической связки “Ú”,
· если “ù ” относится к формуле (F 1 ×F 2) или (F 1 Ú F 2), то прежде всего следует выполнить эти преобразования по закону де Моргана: ù(F 1 ×F 2)=`F 1 Ú`F 2 или ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;
· операция “× ” сильнее “Ú”, что позволяет опускать скобки.
Пример : выполнить эквивалентные преобразования формулы F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 .
· по закону коммутативности:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;
· по закону дистрибутивности:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);
· по закону дистрибутивности:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);
· по закону дистрибутивности:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));
· по закону де Моргана:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));
· по закону противоречия:
Таким образом x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .
Пример: выполнить преобразования формулы
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2);
· по закону де Моргана
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 Ú`x 2);
· по закону дистрибутивности:
F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2 ;
· по законам коммутативности и дистрибутивности:
F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);
· по закону противоречия:
F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ;
· по закону Порецкого
Таким образом (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)= (x 2 Úx 1).
Пример: выполнить преобразование формулы F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2).
· по закону де Моргана:
F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);
· по закону де Моргана:
F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);
· по закону де Моргана:
F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);
· по закону дистрибутивности:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;
· по закону поглощения:
Таким образом ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .
Пример : выполнить преобразование формулы:
F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).
1) преобразовать формулу в базис булевой алгебры:
F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);
2) опустить знак “` “ до двоичных переменных:
F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);
3) преобразовать формулу по закону дистрибутивности:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;
4) вынести за скобку `x 2 по закону дистрибутивности:
F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);
5) преобразовать по закону дистрибутивности:
F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));
6) использовать закон противоречия:
F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)
Свойства булевых функций
Часто возникает вопрос: всякая ли булева функция представима суперпозицией формул f 0 , f 1 ,..f 15 ? Для того, чтобы определить возможность формирования любой булевой функции с помощью суперпозиции этих формул, необходимо определить их свойства и условия использования функционально полной системы.
Самодвойственные булевы функции
самодвойственной , если f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).
Например, функции f 3 (x 1 ;x 2)=x 1 , f 5 (x 1 ;x 2)=x 2 , f 10 (x 1 ;x 2)=`x 2 и f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 являются самодвойственными, т. к. при изменении значения аргумента они изменяют свое значение.
Любая функция, полученная с помощью операций суперпозиции из самодвойственных булевых функций, сама является самодвойственной. Поэтому множество самодвойственных булевых функций не позволяет формировать не самодвойственные функции.
Монотонные булевы функции
Функция f(x 1 ; x 2 ;…x n) называется монотонной , если для каждого s 1i £s 2i булевых векторов (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) и (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) выполняется условие: f(s 11 ;s 12 ;…;s 1i ;…;s 1n)£f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).
Например, для функций f(x 1 ; x 2) монотонными функциями являются:
если (0; 0)£(0; 1), то f(0; 0)£f(0; 1),
если (0; 0)£(1; 0), то f(0; 0)£f(1; 0),
если (0; 1)£(1; 1), то f(0; 1)£f(1; 1),
если (1; 0)£(1; 1), то f(1; 0)£f(1; 1).
Таким условиям удовлетворяют следующие функции:
f 0 (x 1 ; x 2)=0; f 1 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×x 2); f 3 (x 1 ; x 2)=x 1 ; f 5 (x 1 ; x 2)=x 2 ; f 7 (x 1 ;x 2)=(x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ; x 2)=1.
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из монотонных булевых функций, сама является монотонной. Поэтому множество монотонных функций не позволяет формировать не монотонные функции.
Линейные булевы функции
Алгебра Жегалкина, опирающаяся на базис F 4 ={×; Å; 1}, позволяет любую логическую функцию представить полиномом, каждый член которого есть конъюнкция I булевых переменных булевого вектора в пределах 0£i£n:
P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×...×x n.
Например, для логических функций f 8 (x 1 ; x 2)
полином Жегалкина имеет вид: P(x 1 ; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2 .
Преимущества алгебры Жегалкина состоят в “арифметизации” логических формул, а недостатки - в сложности, особенно при большом числе двоичных переменных.
Полиномы Жегалкина, не содержащие конъюнкции двоичных переменных, т.е. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n называют линейными .
Например, f 9 (x 1 ; x 2)=1Åx 1 Åx 2 , или f 12 (x 1 ;x 2)=1Åx 1 .
Основные свойства операции сложения по модулю 2 приведены в таблице 1.18.
Если логическая функция задана таблицей или формулой в любом базисе, т.е. известны значения булевой функции для различных наборов булевых переменных, то можно вычислить все
коэффициенты b i полинома Жегалкина, составив систему уравнений по всем известным наборам двоичных переменных.
Пример : дана булева функция f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2 . Значение этой функции известны для всех наборов булевых переменных.
F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;
Откуда находим b 0 =0; b 1 =1; b 2 =1; b 3 =1.
Следовательно, (x 1 Úx 2)=x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2 , т. е. дизъюнкция есть нелинейная булева функция.
Пример : дана булева функция f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Значение этой функции также известны для всех наборов двоичных переменных.
F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;
f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;
Откуда находим b 0 =1; b 1 =1; b 2 =0; b 3 =1.
Следовательно, (x 1 ®x 2)=1Å x 2 Å x 1 ×x 2 .
В таблице 1.19 приведены полиномы Жегалкина для основных представителей булевых функций из таблицы 1.15.
Если дано аналитическое выражение логической функции и неизвестны ее значения для различных наборов двоичных переменных, то можно построить полином Жегалкина, опираясь на конъюнктивный базис алгебры Буля F 2 ={` ; ×}:
Пусть f(x 1 ; x 2)=(x 1 Úx 2).
Тогда (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 ×1Å 1×1Å1=
(x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2).
Пусть f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2).
Тогда (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1= =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).
Пусть f(x 1 ;x 2)=(x 1 «x 2).
Тогда (x 1 «x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=(((x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å
x 1 ×x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из линейных логических функций, сама является линейной. Поэтому множество линейных функций не позволяет формировать нелинейные функции.
1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
Функция f(x 1 ; x 2 ;...x n) называется сохраняющей “0”, если для наборов значений двоичных переменных (0; 0;...0) функция принимает значение f(0; 0;…0)=0.
Например, f 0 (0; 0)=0, f 3 (0; 0)=0, f 7 (0; 0)=0 и др.
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из функций, сохраняющих “0”, сама является функцией, сохраняющей “0” Поэтому множество функций, сохраняющих “0”, не позволяет формировать функции, не сохраняющие “0”.
1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
Функция f(x 1 ; x 2 ;…x n) называется сохраняющей “1”, если для наборов значений двоичных переменных (1; 1;…1) функция принимает значение f(1;1;…1)=1.
Например, f 1 (1; 1)=1, f3(1; 1)=1, f 5 (1; 1)=1 и др.
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из функций, сохраняющих “1”, сама является сохраняющей “1”. Поэтому множество функций, сохраняющих “1”, не позволяет формировать функции, не сохраняющие “1”.
Однотактные (не содержащие элементов памяти) дискретные логические устройства реализуют на выходе некоторый набор функций алгебры логики `F m = (F 1 ,F 2 ,…,F m ), которые в каждый момент времени зависят только от состояния входов устройства `х n = (x 1 ,x 2 ,…,x n ): `F m = `F m (`х n ). Практически такие устройства проектируют и изготавливают из отдельных неделимых элементов, реализующих некоторый набор (систему) {f } элементарных функций алгебры путем присоединения выходов одних элементов ко входам других.
При проектировании логических устройств актуальными являются следующие вопросы.
1. Задана система элементарных функций {f }. Какие выходные функции F i можно получить, используя функции из {f }?
2. Задано множество выходных булевых функций {F } (в частности, равное всему множеству функций алгебры логики Р 2). Какой должна быть исходная система элементарных функций {f }, обеспечивающая возможность получения на выходе любой из функций множества {F }?
Для обоснованного ответа на данные вопросы используют понятия суперпозиции, замкнутости и полноты систем функций.
Определение. Рассмотрим множество логических связок {F }, соответствующее некоторой системе функций {f }. Суперпозицией над {f } называется любая функция j, которую можно реализовать формулой над {F }.
Практически суперпозицию можно представить как результат подстановки функций из {f } в качестве аргументов в функции из этого же множества.
Пример 1 . Рассмотрим систему функций {f }= {f 1 (х ) =`х, f 2 (х,у )= х &у, f 3 (х,у )= х Úу } . Подставляя в функцию f 3 (х,у ) вместо первого аргумента х функцию f 1 (х ), вместо второго - f 2 (х,у ), получим суперпозицию h (х,у )= f 3 (f 1 (х ), f 2 (х,у ))=`х Ú х & у . Физическая реализация подстановки дана на рис.1.18.
Определение. Пусть М -некоторое множество функций алгебры логики(P 2). Множество всех суперпозиций над М называется замыканием множества М и обозначается [М ]. Получение [М ]по исходному множеству М называется операцией замыкания . Множество М называется функционально замкнутым классом , если [М ] = М . Подмножество m Í M называется функционально полной системой в М , если [m ] = М .
Замыкание [М ]представляет собой все множество функций, которое можно получить из М путем применения операции суперпозиции, т.е. всех возможных подстановок.
Замечания. 1. Очевидно, любая система функций {f } является функционально полной в себе самой.
2 . Без ограничения общности можно считать, что тождественная функция f (х )=х , не изменяющая значений истинности переменных, изначально входит в состав любой системы функций.
Пример 2 . Для рассмотренных ниже систем функций {f } выполнить следующие действия:
1) найти замыкание [f ],
2) выяснить, будет ли система {f } замкнутым классом,
3) найти функционально полные системы в {f }.
Решение .
I. {f }={0}. При подстановке функции {fº 0} в саму себя получаем ее же, т.е. никаких новых функций не образуется. Отсюда следует: [f ] = {f }. Рассмотренная система является функционально замкнутым классом. Функционально полная система в ней одна и равна всей {f }.
II. {f }= {0,Ø }. Подстановка Ø (Ø х )дает тождественную функцию, которая формально не расширяет исходную систему. Однако при подстановке Ø (0) получим тождественную единицу - новую функцию, которой не было в исходной системе: Ø (0)=1. Применение всех других подстановок не приводит к появлению новых функций, например: ØØ 0= 0, 0(Ø х )=0.
Таким образом, применение операции суперпозиции позволило получить более широкое по сравнению с исходным множество функций [f ]={0,Ø ,1}. Отсюда следует строгое вхождение: {f } Ì [f ]. Исходная система {f }не является функционально замкнутым классом. Кроме самой системы {f }других функционально полных систем в ней нет, поскольку в случае её сужения из одной функции f= 0 нельзя путем подстановки получить отрицание, а из одной функции отрицания нельзя получить тождественный нуль.
III. {f } = {& ,Ú ,Ø }.Замыканием данной системы является все множество функций алгебры логики P 2 , так как формулу любой из них можно представить в виде ДНФ либо КНФ, в которых используются элементарные функции {f } = {& ,Ú ,Ø}. Данный факт является конструктивным доказательством полноты рассмотренной системы функций в P 2: [f ] =P 2 .
Поскольку в P 2 содержится бесконечное множество других функций, отличных от {f } = {& ,Ú ,Ø }, то отсюда следует строгое вхождение: {f }Ì[f ]. Рассмотренная система не является функционально замкнутым классом.
Помимо самой системы функционально полными в ней будут подсистемы {f } 1 = {& ,Ø } и {f } 2 = {Ú ,Ø }. Это следует из того, что при помощи правил де Моргана функцию логического сложения Úможно выразить через {& ,Ø},а функцию логического умножения & - через {Ú, Ø}:
(х & у ) = Ø (`х Ú`у ), (х Ú у ) = Ø (х &`у ).
Других функционально полных подсистем в {f } нет.
Проверку полноты подсистемы функций {f } 1 Ì {f }во всей системе {f }можно производить путем сведения {f } 1 к другой, заведомо полной в {f }системе.
Неполноту подсистемы {f } 1 в {f }можно проверить, доказав строгое вхождение [f 1 ] Ì [f ].
Определение. Подмножество m Í M называют функциональным базисом (базисом ) системы М , если [m ] = М , а после исключения из нее любой функции множество оставшихся не полно в М .
Замечание . Базисами системы функций {f} являются все ее функционально полные подсистемы {f} 1 , которые невозможно уменьшить без потери полноты в {f} .
Пример 3 . Для всех систем, рассмотренных в Примере 2, найти базисы.
Решение .В случаях 1 и 2 функционально полными являются только сами системы и сузить их невозможно. Следовательно, они же являются и базисами.
В случае 3 есть две функционально полные в {f }подсистемы {f } 1 = {&,Ø } и {f } 2 ={Ú,Ø }, которые невозможно сократить без потери полноты. Они будут базисами системы {f } = {&,Ú,Ø}.
Определение. Пусть система {f }является замкнутым классом. Ее подмножество {f } 1 Ì {f }называют предполным классом в {f }, если {f } 1 не полно в {f } ([f 1 ] Ì [f ]), а для любой функции jиз системы{f }, не входящей в {f } 1 (jÎ{f } \ {f } 1) справедливо: [j È {f } 1 ] = [f ], т.е. прибавление jк {f } 1 делает ее полной в {f }.
Задачи
1. Проверить замкнутость множеств функций:
а) {Ø }; б) {1, Ø }; в) {(0111); (10)};г) {(11101110); (0110)};д) {(0001); (00000001); (0000000000000001); … }.
2. Проверить полноту систем функций в P 2:
а) {0,Ø }; б) {(0101) , (1010) }; в) {¯ }; г) {(0001) , (1010) }.
3. Найти замыкание системы функций и ее базис:
а) {0 , 1 , Ø }; б) {(1000) , (1010), (0101) }; в) {(0001) , (1110), (10) }; г) {(1010) , (0001), (0111) }.
1.10.2 Функции, сохраняющие константы. Классы Т 0 и Т 1
Определение. Функция f (`х n ) сохраняет 0, если f (0,..., 0) = 0. Функция f (`х n ) сохраняет 1, если f (1, ... , 1) = 1.
Множества функций n переменных, сохраняющих 0 и 1, обозначают, соответственно, Т 0 n и Т 1 n . Все множества функций алгебры логики, сохраняющих 0 и 1, обозначают Т 0 и Т 1 . Каждое из множеств Т 0 и Т 1 является замкнутым предполным классом в Р 2 .
Из элементарных функций в Т 0 и Т 1 одновременно входят, например, &и Ú. Принадлежность любой функции к классам Т 0 , Т 1 можно проверить по первому и последнему значению ее вектора значений в таблице истинности либо непосредственной подстановкой нулей и единиц в формулу при аналитическом задании функции.
Определение. Дублирующей называют такую подстановку, при которой вместо нескольких независимых переменных в функцию подставляют одну и ту же переменную. При этом величины переменных в наборах, которые раньше принимали значения независимо друг от друга, всегда будут одинаковыми.
ЗАДАЧИ
1.Проверить принадлежность к классам Т 0 и Т 1 функций:
а) обощенного сложения, б) обощенного умножения, в) констант, г) ху Ú yz , д) х ® у ® ху , е) х Å у , ж)( х 1 Å… Å х n) ® ( y 1 Å… Å y m) при n,m Î N.
2. Доказать замкнутость каждого из классов Т 0 и Т 1 .
3. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 0 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 1 либо отрицание.
4. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 1 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 0 либо отрицание.
5. Доказать предполноту каждого из классов Т 0 и Т 1 (например, сведением дополненной системы к {f } = {& ,Ú ,Ø }).
6. Найти мощность классов Т 0 n и Т 1 n .
Суперпозиция функций
Суперпозицией функций f1, …, fm называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных.
Пусть имеются два отображения и, причем непустое множество. Тогда супер позицией или композицией функций и называется функция, определенная равенством для всякого.
Областью определения суперпозиции является множество.
Функция называется внешней, а -внутренней функцией для суперпозиции.
Функции, представленные в виде композиции "более простых", называются сложными функциями.
Примерами использования суперпозиции являются: решение системы уравнений методом подстановки; нахождение производной от функции; нахождение значения алгебраического выражения с помощью подстановки в него значения заданных переменных.
Рекурсивные функции
Рекурсией называется такой способ задания функции, при котором значения определяемой функции для произвольных значений аргументов выражаются известным образом через значения определяемой функции для меньших значений аргументов.
Примитивно рекурсивная функция
Определение понятия примитивно рекурсивной функции является индуктивным. Оно состоит из указания класса базовых примитивно рекурсивных функций и двух операторов (суперпозиции и примитивной рекурсии), позволяющих строить новые примитивно рекурсивные функции на основе уже имеющихся.
К числу базовых примитивно рекурсивных функций относятся функции следующих трёх видов:
Нулевая функция-- функция без аргументов, всегда возвращающая0 .
Функция следованияодного переменного, сопоставляющая любому натуральному числунепосредственно следующее за ним натуральное число.
Функции, где, от n переменных, сопоставляющие любому упорядоченному набору натуральных чисел число из этого набора.
Операторы подстановки и примитивной рекурсии определяются следующим образом:
Оператор суперпозиции (иногда--оператор подстановки). Пусть -- функция от m переменных, а -- упорядоченный набор функций отпеременных каждая. Тогда результатом суперпозиции функцийв функцию называется функцияотпеременных, сопоставляющая любому упорядоченному набору натуральных чисел число.
Оператор примитивной рекурсии. Пусть -- функция от n переменных, а -- функция от переменных. Тогда результатом применения оператора примитивной рекурсии к паре функций и называется функция от переменной вида;
В данном определении переменнуюможно понимать как счётчик итераций, -- как исходную функцию в начале итерационного процесса, выдающего некую последовательность функцийпеременных, начинающуюся с, и -- как оператор, принимающий на входпеременных, номер шага итерации, функцию на данном шаге итерации, и возвращающий функцию на следующем шаге итерации.
Множество примитивно рекурсивных функций -- это минимальное множество, содержащее все базовые функции и замкнутое относительно указанных операторов подстановки и примитивной рекурсии.
В терминах императивного программирования -- примитивно рекурсивные функции соответствуют программным блокам, в которых используется только арифметические операции, а также условный оператор и оператор арифметического цикла (оператор цикла, в котором число итераций известно на момент начала цикла). Если же программист начинает использовать оператор цикла while, в котором число итераций заранее неизвестно и, в принципе, может быть бесконечным, то он переходит в класс частично рекурсивных функций.
Укажем на ряд широко известных арифметических функций, являющихся примитивно рекурсивными.
Функция сложения двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основной функции в основную функцию:
Умножение двух натуральных чисел может быть рассмотрено в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основных функций и в функцию сложения:
Симметрическая разность(абсолютная величина разности) двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения следующих подстановок и примитивных рекурсий:
Познакомимся с понятием суперпозиции (или наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. Например, суперпозиция функций даёт функцию аналогично получаются и функции
В общем виде, предположим, что функция определена в некоторой области а функция определена в области причем значения ее все содержатся в области Тогда переменная z, как говорят, через посредство у, и сама является функцией от
По заданному из сначала находят соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком значение у из У, а затем устанавливают соответствующее этому значению у (по правилу,
характеризуемому знаком значение его и считают соответствующим выбранному х. Полученная функция от функции или сложная функция и есть результат суперпозиции функций
Предположение, что значения функции не выходят за пределы той области У, в которой определена функция весьма существенно: если его опустить, то может получиться и нелепость. Например, полагая мы можем рассматривать лишь такие значения х, для которых ибо иначе выражение не имело бы смысла.
Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой функциональной зависимости z от х, а лишь со способом задания этой зависимости. Например, пусть для у в для Тогда
Здесь функция оказалась заданной в виде сложной функции.
Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции функций, мы можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные выше элементарные функции а затем - все те, которые из них получаются с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, последовательно применённых конечное число раз. Про них говорят, что они выражаются через элементарные в конечном виде; иногда их все также называют элементарными.
Впоследствии, овладев более сложным аналитическим аппаратом (бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся и с другими функциями, также играющими важную роль в анализе, но уже выходящими за пределы класса элементарных функций.
