• Транспортная матрица онлайн. Нахождение обратной матрицы. Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

    Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

    Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

    Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

    См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

    Алгоритм нахождения обратной матрицы

    1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
    2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
    3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
    Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .
    1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
    2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
    3. Определение алгебраических дополнений.
    4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
    5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
    6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

    Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

    Алгебраические дополнения. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2·4-5·3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4
    A -1 =
    0,6 -0,4 0,8
    0,7 0,2 0,1
    -0,1 0,4 -0,3

    Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

    Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.
    1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
    2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
    3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
    4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
    Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

    Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

    Транспонирование матрицы через данный онлайн калькулятор не займёт у вас много времени, но зато быстро даст результат и поможет лучше разобраться в самом процессе.

    Иногда в алгебраических вычислениях возникает потребность поменять местами строки и столбцы матрицы. Такая операция именуется транспонированием матрицы. Строки по порядку становятся столбцами, а сама матрица – транспонированной. В данных вычислениях есть определённые правила, и чтобы в них разобраться и наглядно ознакомиться с процессом, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. Он существенно облегчит вам задачу и поможет лучше усвоить теорию транспонирования матриц. Значительным плюсом данного калькулятора является демонстрация развёрнутой и детального решения. Таким образом, его использование способствует получению более глубоких и осознанных представлений об алгебраических расчётах. K тому же, с его помощью всегда можно проверить, насколько успешно вы справились с задачей, производя транспонирование матриц вручную.

    Пользоваться калькулятором очень просто. Чтобы найти транспонированную матрицу онлайн укажите размер матрицы нажатием на иконки «+» или «-» до получения нужных значений числа столбцов и строк. Далее в поля вводятся необходимые цифры. Ниже расположена кнопка «Вычислить» - её нажатие выводит на экран готовое решение с подробной расшифровкой алгоритма.

    Чтобы транспонировать матрицу, надо строки матрицы записать в столбцы.

    Если , то транспонированная матрица

    Если , то

    Задание 1. Найти

    1. Определители квадратных матриц.

    Для квадратных матриц вводится число, которое называется определителем.

    Для матриц второго порядка (размерность ) определитель задается формулой:

    Например, для матрицы ее определитель

    Пример. Вычислить определители матриц.

    Для квадратных матриц третьего порядка (размерность ) существует правило «треугольника»: на рисунке пунктирная линия означает – умножить числа, через которые проходит пунктирная линия. Первые три числа надо сложить, следующие три числа надо вычитать.

    Пример . Вычислить определитель.

    Чтобы дать общее определение определителя, надо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

    Минором элемента матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием - той строки и - того столбца.

    Пример. Найдем некоторые миноры матрицы А.

    Алгебраическим дополнением элемента называется число .

    Значит, если сумма индексов и четная, то и ничем не отличаются. Если же сумма индексов и нечетная, то и отличаются только знаком.

    Для предыдущего примера .

    Определителем матрицы называется сумма произведений элементов некоторой строки

    (столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим это определение на матрице третьего порядка.

    Первая запись называется разложением определителя по первой строке, вторая - разложение по второму столбцу, последняя – разложение по третьей строке. Всего таких разложений можно записать шесть раз.

    Пример . Вычислить определитель по правилу «треугольника» и разложив его по первой строке, затем по третьему столбцу, затем по второй строке.

    Разложим определитель по первой строке:

    Разложим определитель по третьему столбцу:

    Разложим определитель по второй строке:

    Заметим, что чем больше нулей, тем проще вычисления. Например, раскладывая по первому столбцу, получим

    Среди свойств определителей есть свойство, позволяющее получать нули, а именно:

    Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на ненулевое число, то определитель не изменится.

    Возьмем этот же определитель и получим нули, например, в первой строке.

    Определители более высоких порядков вычисляются таким же образом.

    Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:

    1) разложив по любой строке или любому столбцу

    2) получив предварительно нули


    Получим дополнительный ноль, например, во втором столбце. Для этого элементы второй строки умножим на -1 и прибавим к четвертой строке:

    1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

    Покажем решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

    Задание 2. Решить систему уравнений.

    Надо вычислить четыре определителя. Первый называется основным и состоит из коэффициентов при неизвестных:

    Заметим, что если , систему методом Крамера решить нельзя.

    Три остальных определителя обозначаются , , и получаются заменой соответствующего столбца на столбец правых частей.

    Находим . Для этого первый столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

    Находим . Для этого второй столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

    Находим . Для этого третий столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

    Решение системы находим по формулам Крамера: , ,

    Таким образом решение системы , ,

    Сделаем проверку, для этого найденное решение подставим во все уравнения системы.

    1. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

    Если у квадратной матрицы определитель не равен нулю, существует обратная матрица , такая что . Матрица называется единичной и имеет вид

    Обратная матрица находится по формуле:

    Пример . Найти обратную матрицу к матрице

    Сначала вычисляем определитель.

    Находим алгебраические дополнения:

    Записываем обратную матрицу:

    Чтобы проверить вычисления, надо убедиться, что .

    Пусть дана система линейных уравнений:

    Обозначим

    Тогда система уравнений может быть записана в матричной форме как , а отсюда . Полученная формула называется матричным способом решения системы.

    Задание 3. Решить систему матричным способом.

    Надо выписать матрицу системы, найти к ней обратную и затем умножить на столбец правых частей.

    Обратная матрица у нас уже найдена в предыдущем примере, значит можно находить решение:

    1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

    Метод Крамера и матричный метод применяется только для квадратных систем (число уравнений равно числу неизвестных), причем определитель должен быть не равен нулю. Если число уравнений не равно числу неизвестных, или определитель системы равен нулю, применяется метод Гаусса. Метод Гаусса можно применять для решения любых систем.

    И подставим в первое уравнение:

    Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса.

    По полученной матрице восстанавливаем систему:

    Находим решение:

    Читать еще: